BỔ ĐỀ CƠ BẢN LANGLANDS LÀ GÌ VÀ Ý NGHĨA

      Câu chuyện bắt đầu như thế này. Cách đây rất lâu các nhà toán học đã công bố hai lý thuyết quan trọng: lý thuyết số học và lý thuyết nhóm (number theory, group theory). Bản chất của hai lý thuyết đó tôi sẽ để cho bác “Wiki” giải thích – điều nên nhớ là (a) hai lý thuyết ấy rất quan trọng trong thế giới toán học và (b) hai lý thuyết ấy từ xa nhìn riêng biệt với nhau, như hai cành của một thân cây.

     Cách đây khoảng 30 năm, một nhà toán học Canada tên Robert Langlands đã công bố rằng ông ấy nghĩ hai lý thuyết ấy có sự liên quan rất đa dạng. Quan điểm của Robert (và cách thể hiện quan điểm đó) đã làm cho nhiều nhà toán học thực sự choáng! Robert cũng tự làm choáng mình nữa – ông phát biểu rằng sẽ mất mấy thế hệ để chứng minh sự liên quan đa dạng mà ông ấy cho rằng có tồn tại. 

     “Nhưng bước đầu tiên sẽ tương đối dễ thực hiện”, ông Robert tự tin nói với đồng nghiệp. “Bước đầu tiên” đó Robert đặt tên là "fundamental lemma”, và đó chính là “Bổ đề cơ bản” mà các bạn nghe kể nhiều thời gian gần đây. 
Ông Robert tựa như đang đứng trên đảo nhỏ. Nhìn về phía Đông là một con tàu lớn. Nhìn về phía Tây cũng là một con tàu lớn. (Hai tàu không có người lái, trôi trên mặt biển.) Robert không nhìn kỹ được nhưng vẫn cho rằng hai con tàu đó có nhiều điểm chung. Có khi sản xuất cùng loại thép. Có khi chân vịt cùng cỡ. Có khi bánh lái của “tàu Đông” hướng về phía tay phải thì bánh lái của “tàu Tây” sẽ tự động hướng về phía tay trái.  
     
        Khỏi phải nói hai con tàu đó là lý thuyết số học và lý thuyết nhóm. 

       Với Robert, việc chứng minh “bổ đề cơ bản” có thể so sánh với việc ném hai sợi dây có móc sang hai tàu. Khi việc đó làm xong, các nhà toán học khỏe mạnh có thể đứng trên đảo cùng Robert, dùng dây kéo hai tàu gần nhau. (Khi đó mới nhìn kỹ được, tìm ra sự liên quan.) Việc kéo hai con tàu gần nhau và so sánh là việc Robert nghĩ sẽ mất mấy thế hệ. Nhưng việc ném hai sợi dây có móc đó ông Robert nghĩ sẽ nhanh thôi. 

       Nhưng ông Robert đã nhầm. Việc ném dây khó lắm. Robert cùng một số em sinh viên đã ném thử mấy lần nhưng lần nào cũng thất bại. Họ chỉ biết ném gần (không chính xác được) và dùng dây loại mỏng. Đảo của Robert trở thành đảo nổi tiếng. Suốt 30 năm có rất nhiều nhà toán học sang “ném thử” Ai cũng lau mồ hôi và kêu lên “khó quá!” Nhiều nhà toán học trên đất liền chuẩn bị công cụ dùng để kiểm tra và so sánh hai con tàu lúc được kéo về đảo (kéo gần nhau!). Họ sản xuất máy để kiểm tra loại sơn, lập trình phần mềm để phân tích hai chân vịt. Thậm chí có người tập lái tàu và tập cách đứng trên boong tàu để không bị say sóng. Những công việc và sự tập luyện đó sẽ thành vô nghĩa nếu không có người ném dây chính xác.  

       Và rồi xuất hiện anh Ngô Bảo Châu. Nghe kể về đảo của Robert, anh bơi sang xin ném thử. “Được chứ!”, các nhà toán học giỏi nhất thế giới động viên. “Anh cứ thử thoải mái đi, thử mấy lần cũng được, thử xong ngồi cùng chúng tôi uống trà đá nhé!” 

      Anh Châu ném thử một lần, ném rất mạnh, dùng loại dây nặng nhất. Các nhà toán học kia đứng lên ngạc nhiên, nhiều cốc trà đá rơi xuống đất. Cách ném của anh Châu rất lạ; anh dùng kỹ thuật đặc biệt mà chưa ai thấy bao giờ. “Ném thật đi anh ơi!”, các nhà toán học động viên tiếp. “Biết đâu anh sẽ là nhà toán học đầu tiên bắt tàu hai tay!” 

Ngô Bảo Châu ném thật. Và chính xác. Hai cái móc dính vào hai con tàu ngay, mọi người vỗ tay ầm ĩ.  Rồi anh Châu bảo các nhà toán học đứng trên đảo Robert cầm dây giúp (và bắt đầu kéo hai tàu gần nhau), để anh ấy có thể đi sang Ấn Độ nhận giải thưởng Fields.  

DIỄN GIẢI NÔM NA VỀ BỔ ĐỀ CƠ BẢN CỦA GS LÊ BẢO CHÂU:

       Việc chứng minh thành công Bổ đề Langlangds của Ngô Bảo Châu được đánh giá là một cuộc cách mạng trong toán học ở các khía cạnh sau đây:

1.Kết nối được mối quan hệ giữa các chuyên ngành tưởng như độc lập của toán học là số học, đại số, hình học và giải tích.Đó là 4 chuyên ngành từ khi ra đời đến nay gần như độc lâp và tách bạch nhau.

2.Bản thân số học, hình học, đại số và giải tích khi chưa được kết nối đã là công cụ tính toán mang lại rất nhiều hữu ích cho loài người. Sau khi được kết nối, tính hữu ích được nhân lên gấp bội, đặc biệt đối với các dạng bài toán kỹ thuật, ví dụ:
      Muốn tính được quĩ đạo của các con tàu vũ trụ bay vào không gian người ta phải dùng đến thuật toán mô phỏng trong đó giải tích là công cụ chủ yếu. 

     Trong giải tích, chuỗi Fourie và Laplace  được sử dụng với các phép tính lập lên đến hàng ngàn, hàng vạn lần. Việc sử dụng số lần mô phỏng càng nhiều càng tốt kéo theo sự đòi hỏi phải có máy tính với tốc độ xử lý siêu tốc.

     Quĩ đạo kỳ vọng của con tàu vũ trụ nếu chỉ dựa vào mức độ hội tụ của chuỗi Fourie hay Laplace không thôi sẽ là đơn trị. Trong trường hợp chuỗi Fourie hay Laplace không hội tụ thì xem như bó tay.

Hình học, số học và đại số cùng lúc hỗ trợ cho phép tính mô phỏng bằng giải tích có thể kiểm chứng được  trong mọi tình huống mô phỏng.

3.Với kết quả phát minh nói trên, người ta ví số học, hình học, đại số và giải tích như là những bánh xe tách rời nhau. Việc chứng minh thành công bổ đề Langlands của Ngô Bảo Châu giống như việc anh đã tìm ra được cách kết nối 04 bánh xe độc lập để lắp vào cho cỗ xe Toán học, giúp nó hợp lực để đưa xe lao về phía trước. 

     Với sự phát minh này sẽ giúp cho các ngành của Toán học xưa nay riêng lẻ với nhau, nhà thiết kế Ngô Bảo Châu tổ hợp lại, tìm được nguyên lý và nguyên tắc để kết cấu chúng lại, biến chúng thành các bánh xe cùng chung nhiệm vụ chuyên chở cỗ xe Toán học. Các bánh xe này được một bàn tay điều khiển để cỗ xe toán học lao về một hướng giống như 5 anh em trên một chiếc xe tăng (Toán ). Sự hợp lực này se giúp tăng tốc các ứng dụng của toán học vào đời sống…
(Để tìm hiểu thêm, mời bạn ghé thăm blog của bác Phạm Viết Đào: http://phamvietdaonv.blogspot.com)